a) ta có theo công thức lượng giác : 

xét trong tam giác vuông AHB ta có AK.AB=AH²

mặt khác trong tam giác vuông ABC có : AH²=HC.HB 

=> AK.AB=HB.HC (=AH²)

Xét tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\): 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\).

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(định lí Pythagore) 

\(=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

\(HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\)

\(HB=BC-HC=10-6,4=3,6\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(AHB\)vuông tại \(H\)đường cao \(HQ\): 

\(AQ=\frac{AH^2}{AB}=\frac{4,8^2}{6}=3,84\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(ACQ\)vuông tại \(A\): 

\(CQ^2=AC^2+AQ^2=8^2+3,84^2\Rightarrow CQ=\frac{8\sqrt{769}}{25}\left(cm\right)\)

a) tam giác AKH vuông tại K và tam giác AHB vuông tại H có

góc KAH =góc HAB 

=> tam giác AKH đồng dạng tam giác AHB (g-g)

=> AK/AH=AH/AB

=> AH^2=AK.AB (1)

tam giác ABC vuông tại A=> AH^2=BH.CH (hệ thức lượng tam giác vuông )

(1),(2)=> AK.AB=BH.CH (đpcm)

b) đề sai bn nhé phải là cm AB^2/AC^2=HB/HC 

ta có AB^2=BH.BC (hệ thức lượng tam giác vuông )

ta có AC^2=HC.BC (hệ thức lượng tam giác vuông )

=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\left(đpcm\right)\)

a)

Liên tiếp áp dụng HTL, ta có:   \(\hept{\begin{cases}AB.AK=AH^2\\HB.HC=AH^2\end{cases}}\)   

=>   \(AB.AK=HB.HC\)

=> TA CÓ ĐPCM.

b) LIÊN TIẾP ÁP DỤNG HTL TA ĐƯỢC: 

\(\hept{\begin{cases}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.CB\end{cases}}\)

CÓ:   \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.CB}=\frac{HB}{HC}\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

xét tam giác AHB và tam giác CAB có : 

\(\widehat{CAB}=\widehat{AHB}=90do...\)

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AHB~\Delta CAB\left(g-g\right)\)

Gọi E và F lần lượt là giao điểm của tia BA và CA với PC và PB.

Dựng đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BACG.

Do tứ giác BACG là hình chữ nhật nên A;G và trung điểm M của BC thẳng hàng

Mà P;A;M thẳng hàng => P;A;G thẳng hàng.

Dễ thấy FA//BG (Quan hệ song song vuông góc)

Áp dụng ĐL Thales cho \(\Delta\)BGP: \(\frac{PF}{FB}=\frac{PA}{AG}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{PE}{EC}=\frac{PA}{AG}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{PF}{FB}=\frac{PE}{EC}\)=> EF // BC (ĐL Thales đảo) \(\Rightarrow\frac{EA}{AB}=\frac{FA}{AC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)

Ta có: \(\frac{FA}{IQ}=\frac{AC}{IH}=\frac{AB}{IB}\)(Hệ quả ĐL Thales) Suy ra: \(\frac{FA}{AC}=\frac{IQ}{IH}\)(4)

Tương tự ta cũng có tỉ lệ: \(\frac{EA}{AB}=\frac{RK}{KH}\)(5)

Từ (3);(4) và (5) => \(\frac{IQ}{IH}=\frac{RK}{KH}\). Áp dụng ĐL Thales đảo cho \(\Delta\)RHQ => IK//QR (đpcm).

Câu a), b), c) bạn tham khảo tại đây nhé: Câu hỏi của Sky Mtp

Còn câu d) thì ở đây nhé: Câu hỏi của Hana Huyền Ngọc

Chúc bạn học tốt!